小Z的房间

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Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
　　你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。
　　接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
　…
　…
　.*.

Sample Output

15

HINT

n,m<=9

Main idea

给定n*m的矩形，由0和1构成，每个相邻的0点可连边，询问有几种连边方案使得0点两两相通且路径唯一。

Solution

显然想到了题目要求求的就是生成树计数。我们运用Matrix-Tree定理，求出根据Matrix-Tree定理得到的行列式的值即可。关于行列式有如下三条性质，根据②③两条性质，类似高斯消元一样处理就可以得到行列式的值，该值即为最终答案。

PS(重点)：

(1) Matrix-Tree定理：Kirchhoff矩阵去掉任意一行和任意一列得到的行列式的值=生成树计数，其中Kirchhoff矩阵=“度数矩阵”-“邻接矩阵”。（为了方便处理，通常去掉Kirchhoff矩阵的第n行与第n列）

(2) 行列式的性质：
　　① 行列式的值等于只有对角线不为0时对角线的乘积;
　　② 交换行列式的其中任意两行之后(行列式的值)-1;
　　③ 用行列式的一行减去[另一行(一个系数)]，行列式的值不变。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int ONE=2005;
const int MOD=1e9;

int n,m;
char ch[ONE];
long long a[ONE][ONE];
int Bian[ONE][ONE],tot;
int dx[]={0,1,0,-1};
int dy[]={1,0,-1,0};

int get()
{
    int res=1,Q=1;char c;
    while( (c=getchar())<48 || c>57 )
        if(c=='-')Q=-1;
    res=c-48;
    while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
        res=res*10+c-48;
    return res*Q;
}

long long HLS_value(int n)
{
    int PD=1;
    long long Ans=1;

    for(int Now=1;Now<=n;Now++)
    {
        for(int i=Now+1;i<=n;i++)
        {
            long long A=a[Now][Now],B=a[i][Now];
            while(B!=0)
            {
                long long t=A/B;
                for(int j=Now;j<=n;j++) a[Now][j]=(long long)(a[Now][j]-(long long)t*a[i][j]%MOD+MOD) % MOD;
                for(int j=Now;j<=n;j++) swap(a[Now][j],a[i][j]);
                A%=B; swap(A,B); PD=-PD;
            }
        }

        if(!a[Now][Now]) return 0;
        Ans=Ans*a[Now][Now]%MOD;
    }
    return (PD*Ans+MOD) % MOD;
}

int main()
{
    n=get();    m=get();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ch+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(ch[j]=='.') Bian[i][j]=++tot;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(Bian[i][j])
            {
                for(int k=0;k<=3;k++)
                {
                    int x=i+dx[k],y=j+dy[k],u=Bian[i][j],v=Bian[x][y];
                    if(!v) continue;
                    if(x<1 || x>n || y<1 || y>m)continue;
                    a[v][v]=(a[v][v]+1) % MOD;
                    a[u][v]=(a[u][v]-1+MOD) % MOD;
                }
            }
    printf("%lld",HLS_value(tot-1));

}