登山
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Description
恶梦是一个登山爱好者，今天他来到了黄山
俗话说的好，不走回头路。所以在黄山，你只能往前走，或者往上走。
并且很显然的是，当你走到山脊的时候，你不能够往上走，你只能往前走一步再往上走。
抽象一点而言就是，你可以把黄山视为一个N * N格点图，恶梦从(0,0)开始出发，要走到 (N,N)。
当他走到位置(x,y)的时候，它可以往(x + 1,y),或(x,y+1)走。
并且当他走到(x,x)的时候，由于他已经处在了山脊上，所以他不能够往(x,x+1)方向上走。
当恶梦兴致勃勃准备开始爬山的时候，他的同伴告诉他，黄山由于年久失修，有一些位置出现了大坑，不能走。
恶梦觉得更刺激了，但他想先知道他能有多少种方式走到黄山顶。
由于这个数字很大，所以你只需要将答案对10^9 + 7取模输出即可。
第一行包括两个整数N,C,分别表示你可以把黄山视作一个N * N的格点图，并且黄山上面有C个位置出现了大坑。
接下来的C行，每行包括两个整数X,Y,表示X,Y这个位置不能走。
保证X>=Y,也就是说(X,Y)必然在山上。
保证这C个点互不相同。
Output
输出只有一个整数Ans,表示恶梦爬上山顶的路径数对10^9+7取模的值。
5 2
5 0
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Sample Output
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HINT
对于100%的数据，保证N<=100000,C<=1000。
保证对于(0,0),(N,N)不存在障碍点。
Solution
这显然是一道数学题，结合DP，我们令 f[i] 表示不经过其它障碍点，首先经过障碍点 i 的方案数。
那么显然有：f[i] = Ways(0,0 -> i) - f[j] * Ways(i -> j)。
问题就转化为了，怎样求出满足不超过直线y=x+1，从一点走向另外一点的方案数。
所以Ways = ((x1, y1) -> (x2, y2)) - ((x1, y1) -> (y2-1, x2+1))。
统计答案只要加入一个**(n, n)在f**里面计算即可。
Code
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long s64;
const int ONE = 5000005;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n, m;
int x, y;
int fac[ONE], inv[ONE];
int f[ONE];
struct point
{
int x, y;
}a[ONE];
bool cmp(const point &a, const point &b)
{
if(a.x != b.x) return a.x < b.x;
return a.y < b.y;
}
int get()
{
int res=1,Q=1; char c;
while( (c=getchar())<48 || c>57)
if(c=='-')Q=-1;
if(Q) res=c-48;
while((c=getchar())>=48 && c<=57)
res=res*10+c-48;
return res*Q;
}
int Quickpow(int a, int b)
{
int res = 1;
while(b)
{
if(b & 1) res = (s64)res * a % MOD;
a = (s64)a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
}
void Deal_first()
{
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)
fac[i] = (s64)fac[i - 1] * i % MOD;
inv[2 * n] = Quickpow(fac[2 * n], MOD - 2);
for(int i = 2 * n - 1; i >= 0; i--)
inv[i] = (s64)inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}
int C(int n, int m)
{
if(n < 0 || m < 0) return 0;
return (s64)fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}
void Modit(int &a)
{
if(a < 0) a += MOD;
if(a >= MOD) a -= MOD;
}
int Ways(point a, point b)
{
if(n < 0 || m < 0) return 0;
return C(b.y - a.y + b.x - a.x, b.y - a.y);
}
int Getit(point a, point b)
{
return Ways(a, b) - Ways(a, (point){b.y - 1, b.x + 1});
}
int main()
{
n = get(); m = get();
Deal_first();
for(int i = 1; i <= m; i++)
a[i].x = get(), a[i].y = get();
a[++m] = (point){n, n};
sort(a + 1, a + m + 1, cmp);
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
Modit(f[i] = Getit((point){0, 0}, a[i]));
for(int j = 1; j < i; j++)
Modit(f[i] -= (s64)f[j] * Getit(a[j], a[i]) % MOD);
}
printf("%d", f[m]);
}
|
